一天精通无人机第 47 讲 高级篇系列:动力学建模

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多旋翼无人机的动力来源于螺旋桨的高速转动。螺旋桨在转动过程中由于迎角与空气作用的关系,气流会对螺旋桨产生一个垂直与桨平面的推力,此推力可以分解为一个垂直与机体平面方向的力f_t和一个平行与机体平面的力f_m。如下图所示:

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我们设四旋翼无人机为均匀对称的刚体,且不受阻力、气压、材料等其他因素影响。于是对于十字型四旋翼动力模型有:

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其中F_t为十字型四旋翼的总拉力,f_mx、f_mx、f_mx为十字型四旋翼的力矩。由于螺旋桨所产生的拉力总与其转速ω的平方成正比,因此拉力和力矩为:

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其中,C_t为拉力系数,C_m为转矩系数。

我们所得到的四旋翼的力矩是针对与十字型四旋翼机型的。

叉型四旋翼的力矩为:

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也就是说,十字型四旋翼与叉型四旋翼在总拉力和z轴力矩上是相同的,但是由于不同的布局,在x轴和y轴上的力矩不同。

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我们知道多旋翼无人机的运动存在6个自由度,分别为在x、y、z这3个坐标轴上的平移和转动运动方式。在坐标轴上的平移运动可以看作是无人机的速度和位置变化;以坐标轴为轴的转动可以看作是无人机的角速度和姿态变化。我们分别对无人机的姿态和位置进行相应的受力分析:

1)角速度与姿态:

设力力矩和转动惯量分别为:

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于是有角加速度为:

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对角加速度进行积分得到角速度:

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由角速度乘以时间间隔得到角增量:

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将角增量转为四元数增量,再由上一时刻的四元数和四元数增量得到当前时刻的四元数,最后将四元数转为欧拉角:

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在使用变换矩阵时通常将欧拉角转为四元数,并使用四元数的变换矩阵来进行后续计算。

2)速度与位置:

我们需要在本地坐标系下来得到无人机的速度和位置,因此需要将无人机总拉力f左乘变换矩阵,得到在本地坐标系下的受力:

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注意,四旋翼无人机的4个螺旋桨产生的拉力始终垂直与机体平面,也就是说,在机体坐标系下z轴上的拉力为f_t,x、y轴上的受力始终为0。

设无人机的质量为m,于是有在本地坐标系下的加速度为:

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对加速度做积分得到速度:

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对速度做积分得到位置:

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也就是说,我们可以根据四旋翼螺旋桨的转速ω得到无人机的角加速度、角速度、姿态、移动速度和位置。计算过程中,需要确定拉力系数C_t和转矩系数C_m,这两个系数通常使用经验值进行设定。

下期预告:《半物理仿真》

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